¿Que es la teoría del error?

Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando.

Esta imagen representa hipotéticamente la teoría del error. Podemos observar que la parte resaltada que hay en la regla abarca solo una parte de los valores, ya que solo requiere de este campo y utilizará solo los valores internos los demás no serán utilizados

Aritmética de punto fijo y punto flotante

PUNTO FIJO. Está una representación que contiene una cantidad fija de dígitos después del punto decimal. Al no requerir de Unidad de Punto Flotante. El punto decimal siempre estará en la misma posición.

En el bit ultimo bit se  representara el signo del numero.

Negativo: 1
Positivo:  0

Los complementos se utilizan en las computadoras digitales para simplificar la operación de sustracción o resta y para la manipulación lógica.   Existen dos tipos de complementos para cada sistema de base r:

1.      El complemento A1

2.      El complemento A2

Complemento A1: El complemento A1 se obtiene de cambiar los 1 por 0 y los 0 por 1.

 Binario:   01110010 = 114
  C. A1:    10001101 = -114


Complemento A2: El complemento a 2 de un numero binario es encontrado sumando 1 al bit menos significativo de el complemento a 1 del numero.

- 114 =  10001101
              +           1
              10001110



EJEMPLO:

Representar el numero 195 en una memoria de 16 bits.

1. Convertir el numero a binario.


2^n =   128   64   32   16   8   4   2    1
195 =     1     1     0     0     0   0   1    0


2. Aplicar el complemento A1 ( Cambiar los 1 a 0 y los 0 a 1).

195 = 11000010
          00111101

3. Aplicar el complemento A2 (Sumar un 1 al bit menos significativo)
     
        00111101
        +           1
        00111110

4. Representarlo en la memoria de 16 bits. El ultimo bit representa el signo del numero  el resultado del paso anterior se pondrá   a partir espacio de memoria, los espacios sobrantes sera ocupados dependido del signo ( + 0, - 1).

       SIGNO
          15   14   13   12   11   10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0
195=   0    0     0      0     0     0    0   0   0   0   1   1   1   1   1   0


 PUNTO FLOTANTE Esta representa a los números reales, en base binaria. En base decimal el punto flotante es usualmente conocido como punto decimal. Los dígitos luego del punto representan una elevación negativa.

 En la parte entera se definirá el signo del numero

 Negativo = 1
 Positivo = 0

 En la parte exponencial sera invertido

 Negativo = 0
 Positivo = 1

PROCEDIMIENTO.


 EJEMPLO:


 Representar 2.56 en 16 bits 1. Identificar el punto decimal. 2.56

 2. Convertir la parte entera a binario.

 2^n 128 64 32 16 8 4 2 1 2 = 0 0 0 0 0 0 1 0

 3. La parte decimal la multiplicaremos por 2 y su resultado también pero deberemos tener en cuenta que solo podemos utilizar 2 decimales ya que así nos lo indica la parte decimal que es (56) y si el resultado nos da un decimal mas significara que ese bit sera "1" de lo contrario sera "0" este proceso se realizara las veces necesarias. Este sera un poco mas claro a continuación.

 .56 * 2 = 1.12 => 1
 .12 * 2 = 24    => 0
 .42 * 2 = 84    => 0
 .84 * 2 = 1.68 => 1
 .68 * 2 = 1.36 => 1
 .36 * 2 = 72    => 0
 .72 * 2 = 1.44 => 1
 .44 * 2 = 88    => 0
 .88 * 2 = 1.76 => 1

 4. Reagrupaos el numero pero esta ves en binario. 2.56 = 00000010.10011011 5. Trasladamos el punto de decimal al 1 mas significativo en este caso a la izquierda, y lo colocaremos en notación científica (base 2).

 00000010.10011011 = 000000.1010011011 => 1010011011 * 2^2

En este caso se traslado 2 espacios a la izquierda.

 6. Aquí utilizaremos la formula para hallar a la parte exponencial del numero que es +-N + 2 ^(t - 1). Donde N es la cantidad de espacios que se traslado el punto decimal y t es la cantidad de bits reservados. Después de obtener el resultado este se deberá convertir a binario.

 +-N + 2 ^ (t - 1) = 2 + 2 (5 - 1) 2 + 2^4 = 2 + 16 => 18

 2^n 128   64  32  16  8  4   2  1
 18 = 0      0    0    1    0   0  1  0 


7. Representaremos lo anterior en 16 bits. ya que el numero es positivo en el bit 15 sera 0

 SIGNO     EXPONENTE                     MANTISA
    15         14 13 12 11 10     9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
    0           1   0    0   1    0     1 0 1 0 0 1 1 0 1 1

COMPLEMENTO A9, A10.

Complemento A9: Se usa para representar números negativos de forma que una resta se pueda transformar en una suma.

EJEMPLO:

428 - 47 = 381

1. Sabiendo que el  numero sustraendo es de 3 cifras en este caso, procederemos a restar el numero mas alto de 3 cifras que hay,  999 con el valor del minuendo.


     999
     -47
    952

2. Procederemos a sumar el resultado anterior con el sustraendo, al valor solo tomaremos las 3 primeras cifras   y le sumaremos 1
 
   952
+428
 1380
  +   1
   381

Complemento A10: El complemento A10 es cuando se da el caso de que. El sustraendo es menor al minuendo.

EJEMPLO:

47 - 428 = -381

1.  Procederemos a  restar el numero mas alto que representa, uno de los valores en este caso es el minuendo de 3 cifras.

2. Restaremos el numero mas grande que es 999 con el minuendo, y al resultado le sumamos el sustraendo.

3. Teniendo los pasos anteriores restare el numero mas grande de la respuesta obtenida que seria 999
con el resultado anterior y agregaremos un signo negativo

   999          999
  -428        -618
  571          -381
  +47
   618

FORMAS DE MEDIR EL ERROR

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:

E = X   -   Xr

Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

- Error absoluto.

- Error relativo.

- Error redondeo.

- Error total.

- Factor de amplificación.

ERROR  ABSOLUTO:  Error absoluto de una aproximación es la diferencia en positivo entre el número dado o valor exacto y el número aproximado.

Error Absoluto = | valor exacto - valor calculado|

                        Ea     =  |X - X_r|*100

PROPAGADO

  Ea     =  |F(X) - F(X_r)|*100

ERROR RELATIVO: Error relativo. Es el cociente de la división entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error.

Error Relativo =  |X - X_r|  / |X|*100

PROPAGADO

Error Relativo =  |F(X) - F(X_r)|  / |F(X)|*100

ERROR DE REDONDEO: Un error de redondeo es la diferencia entre la aproximación calculada de un número y su valor matemático exacto debida al redondeo. De acuerdo a la cantidad de cifras significativas  se requieran, si se pide a 5 cifras significativas el siguiente debe ser menor a 5 de lo contrario la cifra anterior incrementa en 1 

EJEMPLO:

Se piden 5 cifras significativas:

X = 5.98540

 R = 5.9854

Se piden 5 cifras significativas:

X = 5.965865

R = 5.9659

Formula: 

 Error de redondeo = | F(Xr) - Fr(Xr)| *100

ERROR TOTAL:  El error total es la resta de  x  meno el error de truncamiento redondeado.

Error total = | F(X) - Fr(Xr)|

FACTOR AMPLIFICADO:   FA = | F(x) - F(xr)|

                                                                x - xr 



EJEMPLO:

1.   Supóngase que se debe evaluar f(x) = 5X² + 7X - 30; la exacta debería ser 3.01, pero se ha redondeado a X_r = 3.  Cuál es el error en f(x)?

            Error Absoluto = |X       -   X_r|

            Error Absoluto =  |f(3.01) - f(3)|

            Error Absoluto =  |36.3705 -   36|

            Error Absoluto =  0.3705 * 100

            Ea = 37%

            Error Relativo = |X - X_r | / |X|

            Error Relativo = |f(3.01) - f(3)| / |f(3.01)|

            Error Relativo = |36.3705 -   36| / |36.3705|

            Error Relativo = |0.3705| / |36.3705|

            Error Relativo = 0.0102 * 100

            Er = 1%

MÉTODOS CON INTERVALOS

MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS 

En esta sección estudiaremos los métodos que son clasificados como métodos que usan intervalos para el cálculo de raíces, porque se necesitan de dos valores iniciales para el cálculo de la raíz. Estos son los métodos de Intervalo Medio o método de Bisección y el método de Regula Falsi o método de Posición Falsa.

MÉTODO DE INTERVALO MEDIO 

Este método consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz al menos una raíz, y repetir el proceso varias veces.

Una situación típica se describe en la figura-1, en donde el punto medio del intervalo del intervalo (XI,XD) de denota por (XM) y f(XM) es positivo. Ya que f(XM) f(XD)<0, debe conservar (XM,XD) como semi-intervalo que contiene al menos una raíz. El siguiente paso es evaluar f en el punto medio de este nuevo intervalo (XM,XD), etc.

                                                               

ALGORITMO DEL METODO DE INTERVALO MEDIO

 1. Seleccionar los intervalos iniciales XI y XD de tal forma que la función cambie de signo sobre el intervalo. Verificar que f(XI) f(XD)<0. Nos indica si el método se puede repetir para encontrar mejores estimaciones.

 2. Determinar la primera aproximación a la raíz XM, mediante:

XM = (XI + XD) / 2

 3. Realizar las siguientes evaluaciones, considerando los siguientes criterios, para determinar en que subintervalo cae la raíz:

o o Si f(XI) f(XM)<0, entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo. Por lo tanto, resuélvese XD =XM y continúe el paso siguiente.

o o Si f(XI) f(XM)>0, entonces la raíz se encuentra dentro del segundo subintervalo. Entonces, resuélvese XI =XM y continúe con el paso 4.

o o Si f(XI) f(XM)=0, entonces la raíz es igual a XM y se terminan los cálculos.

 4. Determinar la primera aproximación a la raíz XM, mediante: XM = (XI + XD)/2

 5. Si la nueva aproximación es tan exacta, los cálculos terminan, de otra forma, regresar al paso 3.

Método de Newton-Raphson

2.1 Planteamiento y descripción del método

Objetivo Aproximar la solución de f(x)=0.

• f(x) derivable.

• x0 aproximación inicial.

• Método 

x0 = aproximación inicial,

xj+1 = xj − f(xj )

f0

(xj )

.

1. Ejemplo 2.1 Aproximar la solución de

cos(x) − x = 0  con 6 decimales.

Hemos visto que la ecuación tiene solución en [0, π/2], podemos tomar como
aproximación inicial x0 = π/4.

x0 = π/4=0.78539 816.
El método es, en este caso,

f(x) = cos(x) − x, f0

(x) = − sin (x) − 1,

x0 = 0.78539 816,

xj+1 = xj + cos (xj ) − xj

sin (xj )+1 .

El valor de las iteraciones es

x1 = x0 + cos (x0) − x0

sin (x0)+1 = 0. 78539 816 − 0.04 58620 3 = 0. 73953 613,

x2 = x1 + cos (x1) − x1

sin (x1)+1 = 0. 73908 518,




2. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones.

x3 = x2 + cos (x2) − x2

sin (x2)+1 = 0. 73908 513,

x4 = 0. 73908 513.

El método ha convergido al valor

α¯ = 0. 73908 513,

el valor exacto con 10 decimales es

α = 0.73908 51332. ¤

MÉTODO DE REGULA-FALSI 

El método de Regula-Falsi es una alternativa mejorada, basada en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz. Aunque el método de Intervalo Medio es una técnica perfectamente válida para determinar raíces.

Existen casos en donde el Método de Intervalo Medio es preferible al Método de Regula-Falsi, debido a que se considera un defecto del Método de Intervalo Medio al dividir el intervalo XI a XD en mitades iguales, sin tomar en consideración la magnitud de f(XI) y de f(XD).

El Método de Regula-Falsi aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “posición falsa” de la raíz, de aquí el nombre.

Utilizando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta y el eje x se pueden calcular de la siguiente manera:

Esta es la fórmula del Método de Regula-Falsi. El valor calculado con la ecuación, reemplaza a uno de los dos valores, XI o a XD que produzcan un valor de la función que tenga el mismo signo de f(XM). De esta manera, los valores de XI y XD siempre encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al Método de Intervalo Medio, presentado en la sección anterior, con la excepción que la ecuación de Regula-Falsi se usan en los pasos 2 y 4. Utilizando el mismo criterio de paro para detener los cálculos.