MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS
En esta sección estudiaremos los métodos que son clasificados como métodos que usan intervalos para el cálculo de raíces, porque se necesitan de dos valores iniciales para el cálculo de la raíz. Estos son los métodos de Intervalo Medio o método de Bisección y el método de Regula Falsi o método de Posición Falsa.
MÉTODO DE INTERVALO MEDIO
Este método consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz al menos una raíz, y repetir el proceso varias veces.
Una situación típica se describe en la figura-1, en donde el punto medio del intervalo del intervalo (XI,XD) de denota por (XM) y f(XM) es positivo. Ya que f(XM) f(XD)<0, debe conservar (XM,XD) como semi-intervalo que contiene al menos una raíz. El siguiente paso es evaluar f en el punto medio de este nuevo intervalo (XM,XD), etc.
ALGORITMO DEL METODO DE INTERVALO MEDIO
1. Seleccionar los intervalos iniciales XI y XD de tal forma que la función cambie de signo sobre el intervalo. Verificar que f(XI) f(XD)<0. Nos indica si el método se puede repetir para encontrar mejores estimaciones.
2. Determinar la primera aproximación a la raíz XM, mediante:
XM = (XI + XD) / 2
3. Realizar las siguientes evaluaciones, considerando los siguientes criterios, para determinar en que subintervalo cae la raíz:
o o Si f(XI) f(XM)<0, entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo. Por lo tanto, resuélvese XD =XM y continúe el paso siguiente.
o o Si f(XI) f(XM)>0, entonces la raíz se encuentra dentro del segundo subintervalo. Entonces, resuélvese XI =XM y continúe con el paso 4.
o o Si f(XI) f(XM)=0, entonces la raíz es igual a XM y se terminan los cálculos.
4. Determinar la primera aproximación a la raíz XM, mediante: XM = (XI + XD)/2
5. Si la nueva aproximación es tan exacta, los cálculos terminan, de otra forma, regresar al paso 3.
Método de Newton-Raphson
2.1 Planteamiento y descripción del método
Objetivo Aproximar la solución de f(x)=0.
.
1. Ejemplo 2.1 Aproximar la solución de
cos(x) − x = 0 con 6 decimales.
Hemos visto que la ecuación tiene solución en [0, π/2], podemos tomar como
aproximación inicial x0 = π/4.
x0 = π/4=0.78539 816.
El método es, en este caso,
f(x) = cos(x) − x, f0
(x) = − sin (x) − 1,
x0 = 0.78539 816,
xj+1 = xj + cos (xj ) − xj
sin (xj )+1 .
El valor de las iteraciones es
x1 = x0 + cos (x0) − x0
sin (x0)+1 = 0. 78539 816 − 0.04 58620 3 = 0. 73953 613,
x2 = x1 + cos (x1) − x1
sin (x1)+1 = 0. 73908 518,
2. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones.
x3 = x2 + cos (x2) − x2
sin (x2)+1 = 0. 73908 513,
x4 = 0. 73908 513.
El método ha convergido al valor
α¯ = 0. 73908 513,
el valor exacto con 10 decimales es
α = 0.73908 51332. ¤
El método de Regula-Falsi es una alternativa mejorada, basada en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz. Aunque el método de Intervalo Medio es una técnica perfectamente válida para determinar raíces.
Existen casos en donde el Método de Intervalo Medio es preferible al Método de Regula-Falsi, debido a que se considera un defecto del Método de Intervalo Medio al dividir el intervalo XI a XD en mitades iguales, sin tomar en consideración la magnitud de f(XI) y de f(XD).
El Método de Regula-Falsi aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “posición falsa” de la raíz, de aquí el nombre.
Utilizando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta y el eje x se pueden calcular de la siguiente manera:
Esta es la fórmula del Método de Regula-Falsi. El valor calculado con la ecuación, reemplaza a uno de los dos valores, XI o a XD que produzcan un valor de la función que tenga el mismo signo de f(XM). De esta manera, los valores de XI y XD siempre encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al Método de Intervalo Medio, presentado en la sección anterior, con la excepción que la ecuación de Regula-Falsi se usan en los pasos 2 y 4. Utilizando el mismo criterio de paro para detener los cálculos.
Método de Newton-Raphson2.1 Planteamiento y descripción del método
Objetivo Aproximar la solución de f(x)=0.
• f(x) derivable.
• x0 aproximación inicial.
• Método
x0 = aproximación inicial,
xj+1 = xj − f(xj )
f0
(xj )
.
1. Ejemplo 2.1 Aproximar la solución de
cos(x) − x = 0 con 6 decimales.
Hemos visto que la ecuación tiene solución en [0, π/2], podemos tomar como
aproximación inicial x0 = π/4.
x0 = π/4=0.78539 816.
El método es, en este caso,
f(x) = cos(x) − x, f0
(x) = − sin (x) − 1,
x0 = 0.78539 816,
xj+1 = xj + cos (xj ) − xj
sin (xj )+1 .
El valor de las iteraciones es
x1 = x0 + cos (x0) − x0
sin (x0)+1 = 0. 78539 816 − 0.04 58620 3 = 0. 73953 613,
x2 = x1 + cos (x1) − x1
sin (x1)+1 = 0. 73908 518,
2. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones.
x3 = x2 + cos (x2) − x2
sin (x2)+1 = 0. 73908 513,
x4 = 0. 73908 513.
El método ha convergido al valor
α¯ = 0. 73908 513,
el valor exacto con 10 decimales es
α = 0.73908 51332. ¤
MÉTODO DE REGULA-FALSI
El método de Regula-Falsi es una alternativa mejorada, basada en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz. Aunque el método de Intervalo Medio es una técnica perfectamente válida para determinar raíces.
Existen casos en donde el Método de Intervalo Medio es preferible al Método de Regula-Falsi, debido a que se considera un defecto del Método de Intervalo Medio al dividir el intervalo XI a XD en mitades iguales, sin tomar en consideración la magnitud de f(XI) y de f(XD).
El Método de Regula-Falsi aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “posición falsa” de la raíz, de aquí el nombre.
Utilizando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta y el eje x se pueden calcular de la siguiente manera:
Esta es la fórmula del Método de Regula-Falsi. El valor calculado con la ecuación, reemplaza a uno de los dos valores, XI o a XD que produzcan un valor de la función que tenga el mismo signo de f(XM). De esta manera, los valores de XI y XD siempre encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al Método de Intervalo Medio, presentado en la sección anterior, con la excepción que la ecuación de Regula-Falsi se usan en los pasos 2 y 4. Utilizando el mismo criterio de paro para detener los cálculos.
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